자.. 모든 이야기는 컨택트에서 나오는 대사인

"이 넓은 우주에 우리만 산다는것은 심각한 공간의 낭비야" 에서부터 대충 시작된거같습니다.

뭐 거기에서 딸려나온 다른 이야기들은 다 접어두고..

두루뭉실하게 알고있는 공간..차원..이란 명확하게 무엇일까? 아니 명확하게 정의할수 있을까?

에 대해서.. 수학을 하는 사람으로서 수학이라는 학문에서의 공간과 차원의 이야기를 하겠습니다.

재미있을수도 없을수도 있으므로 보기싫으신분은 그냥 뒤로가셔도 괜찮습니다.

우선.. 과학적인 이론을 세우거나 연구를 할때엔 빠지지 않는것이 있습니다. 뭐냐?

바로 "수학적모델" 이지요.

그래서 우주의 모양이라던지 공간의 특성등을 연구할때는 수학적모델로 분류를 해서 그 특징들을 연구합니다.

혹시 푸앙카레 추측이라고 들어보셨나요?

아주 쉽게 말하면 "우리의 우주는 어떻게 생겨먹었을까?" 에 대한 추측이었으며

이미 증명이되었으므로 추측이라고 부르긴 뭣하지만 100여년동안 그렇게 불렸으니깐 푸앙카레추측이라고하겠습니다..

하지만..이 이야기에대한건 너무나도 @#$@# 어렵기때문에 넘기도록하고

수학의 모든분야가 공간의 성질에 대해서 연구하지 않습니다. 그러면?

"위상수학" 토폴로지 라고 불리우는 수학의 한 분야가 공간의 성질을 주되게 연구하는 학문입니다.

여기서부터는 일반인(?)에게 쉽게 설명하기 위한 (제가쓴게아님) 모 카페, 교수님의 위상수학 이야기입니다

[푸앙카레 추측] 이라고 많이들 들어보셨지요? 이는 푸앙카레가 1900년에 던진 하나의 문제에 관한 것입니다.

3차원 구 S^3 와 같은 3차원 다양체들은 어떤 것들이 있는가?

하는 아주 간단한 문제 입니다. 하지만 이 간단한 문장 속에서 우리는 [위상 수학]의 본질적인 목적에 대해서 알 수 있습니다.

[위상 수학]이란 간단히 말해

[공간을 분류]

하는 학문입니다. 인류에게 '우리가 살고 있는 세계는 어떻게 생겼나?' 라는 자연스럽고 중요한 질문이 주어진 이래로, 지구, 더 나아가서 우주는 어떻게 생겼는지에 대해서 사람들이 관심을 가지게 되었습니다. 아마 한번쯤 '우주는 몇 차원 공간이다' 등의 얘기를 들어 본 적이 있으시다면 문제를 이해하는데 도움이 될 것입니다. 수학자들은 이 질문으로 부터 일반적인 n 차원 공간의 종류에 대한 문제에 관심을 가졌겠죠. 그것이 바로 위상수학의 시작입니다. 하지만 이건 너무 어렵네요. 그래서 조금은 문제를 약화시킵니다.

[좋은 성질을 갖고 있는 공간의 분류]

여기서 좋은 성질이란 어떤 것이냐. 바로 우리가 살고 있는 공간이 가지고 있는 성질이겠죠. 우리가 살고 있는 공간이란 소위 말하는 유클리드 공간 R^n 입니다. 위상수학 (소위 말하는 general topology 입니다.) 을 공부하다 보면 배우게 되는 compactness, nomality, connectedness.. 등등의 많은 성질들은 바로 R^n 이 만족하는 성질인것이죠. 이런 대표적인 성질을 만족하는 좋은 공간이 바로 [다양체 manifold] 입니다. 즉, 다양체의 분류가 위상수학의 목표인 것입니다.

잠깐! 여기서 [분류]라는게 뭘까요? 쉽게 말해 분류란, 우리에게 두 물체가 주어졌을때, 이것이 같은지 다른지 판단하는 것입니다.

그럼 먼저 다양체가 서로 같다는 것이 어떤 의미인지를 알아야겠죠. 여러가지 의미로 정의할 수 있지만, 우리 위상수학자들은 '위상 동형 homeomorphism' 이란 개념으로 주로 설명을 합니다. 즉, 두 다양체 X, Y가 있을때, 두 다양체 사이에 1-1 연속한 맵이 있으며, 그 역도 연속한 것을 homeomorphism 이라고 부르는데, 두 다양체 사이에 homeomoprhism 이 있으면 그것을 우리는 같은 도형이라고 얘기하는 것입니다. 이것은 예를 좀 들어 주면 좋은데 조금 복잡하니 다음에 기회를 봐서 설명하도록 하겠습니다.

그럼 이제 우리에게 필요한 것은, 두 다양체가 '다르다' 라는 것을 '증명'할 수 있는 방법입니다. 사실 X, Y 가 같다는 것을 보이기 위해선 앞에서 설명한 것 처럼 X, Y 사이에 homeomorphism 이 있다는 것을 보이면 끝입니다. 하지만 다르다는 것은 어떻게 보일까요? 맵이 없음을 보이는 거라 얼핏 생각하기도 쉽지 않은 문제 입니다. 여기서 중요한 것이 바로 [불변값 invariant] 이란 겁니다. [불변값]이란 서로 위상동형인 공간들이 [공통적으로 만족하는 성질]입니다. 만일 두 다양체 X, Y 가 있을 때 이 것의 어떤 특정 불변값이 서로 다르다면 이 둘은 같아 질 수가 없죠. 즉, X, Y 가 다르다는 것을 보이는 것은 바로 이 둘이 공유하지 않는 [불변값]을 찾는 것과 다름 아닌것이 됩니다.

예를 들면, 바로 유명한 [오일러 정리]입니다. 2차원 구 S^2 와 닮은 2차원 도형들은 모두 v-e+f 값이 2이죠. 하지만 도넛과 같은 모양들은 v-e+f 값이 항상 0입니다. 즉, 두 도형이 서로 다른 불변값을 가지므로 이 두개는 서로 같지 않다는 것이 되는 겁니다. (사실 위상수학은 바로 이 [오일러]의 직관에서 부터 시작되었습니다.)

그러는 와중에 1800년대 후반, 바로 Poincare 라는 굉장한 사람이 나타나게 됩니다. 이 사람은 공간으로 부터 대수적인 성질을 띄는 [불변값]을 찾아내게 됩니다. 소위 말하는 [기본군 Fundamental Group] 이죠. 예전 오일러의 정리는 공간으로 부터 하나의 '숫자'를 찾는데 불과해서 사실 공간의 [다름]을 보이는데는 충분하지 않았습니다. (불변값이 다름은 공간의 다름을 증명하지만 불변값이 같다고 공간이 같은건 아닙니다.) 하지만 Poincare는 좀 더 복잡한 구조인 group 형태를 갖는 [불변값]을 찾아 버림으로써 많은 도형의 [다름]을 증명할 수 있었습니다. 이는 당시로서는 상상하기도 힘든 멋진 아이디어였습니다. 그 것이 바로 Poincare 가 유명해진 이유입니다. 이를 계기로 이후의 수학자들에 의해 많은 대수적인 성질을 갖는 [불변값]들이 발견됩니다. [Homotopy group], [Homology group], [Cohomology Ring - 무려 링(환) 입니다!!] 등이 그것입니다. 이를 계기로 소위 말하는 [대수적 위상수학]이 탄생하게 됩니다.

자, 그럼 다시 [같음]에 대한 이야기로 돌아가겠습니다. 앞에서 [불변값]들이 공간의 [다름]을 증명한다고 했는데, [불변값]이 같다고 두 공간이 서로 같은건 아니라는 것은 쉽게 이해하실 수 있을 것 입니다. 하지만 어떤 경우는 [불변값]들이 서로 같다면 두 도형이 같아질 때도 있을 겁니다. 예를들어 2차원 닫힌 다양체 같은 경우는 [방향성 orientablility] 와 앞서 말한 [오일러계수 v-e+f]값만 서로 같으면 두 도형이 서로 같다는 것이 증명이 되었습니다. 즉, 다른 말로, 두 도형이 서로 같아 지게끔 하는 공간의 성질에 무엇인지에 대한 질문이 나오겠지요.

[어떤 특정한 성질을 공유하는 공간들은 서로 위상동형인가?]

사실 같다는 것을 보이는 것은 언급했듯이 맵을 바로 찾아주면 그만입니다. 하지만 그 맵을 찾는건 결코 쉬운 일이 아닐 뿐더러, [특정한 성질을 공유하는 공간]이 어떤 것이 있는지 조차 모르는데 일반적인 맵을 찾는 다는 건 더더욱 어려운 일입니다. 심지어 가장 간단한 도형에 해당하는 구 S^n 와 같은 다양체들이 어떤게 있는지 조차도 몰랐습니다. (여기서 구 S^n 은 유클리드 공간 R^{n+1} 상에서 원점으로 부터 거리가 1만큼 떨어져 있는 점들의 모임입니다.) Poincare 문제도 바로 그것입니다. S^3와 똑같이 생긴 것들은 어떤 성질을 만족하느냐.. 혹은 (이후에) 더 확장해서 S^n과 같은 것들은 어떤것들이 있느냐 하는 문제인거죠.

구체적으로 적어 보면 다음과 같습니다.

[푸앙카레 추측] 모든 homotopy n-sphere 는 사실 S^n 과 위상동형이다.

(3차원 한정으로는 compact 유계공간중에서 임의의 curve 가 항상 한점으로 모일 수 있다면 S^3이다.)

[homotopy n-sphere] 라는 것은 구와 [homotopy equivalent] 한 다양체 입니다. 그리 어려운 개념은 아니나 쉽게 설명할 수 있는 것도 아니어서 그냥 넘어가도록 하겠습니다. 대학원수준의 위상수학을 공부하면 거의 맨 처음 배우는 개념입니다. 위의 3차원 경우에 임의의 curve 가 항상 한점으로 모일 수 있다는 조건은 다른 말로 [기본군 Fundamental group]이 trivial group 이라는 것과 동치입니다. 즉, Poincare 본인이 찾은 그 [불변값]이 S^3를 결정짓는 요소임을 확인하고 싶었던 것입니다. (일반적인 공간에서는 [Fundamental Group]은 공간을 결정짓지 못합니다.)

요약하면 [푸앙카레 추측]은 [공간의 분류] 중에서도 가장 간단한 [S^n 과 같은 도형찾기]에 해당하는 문제인 것입니다. 하지만 이 문제조차도 쉽게 풀지 못해서 소위 말하는 [밀레니엄 7문제]에 까지 오르기 까지 했습니다. 그리고 이 문제를 조금이라도 푼 모든 수학자들은 모두 [필즈메달]을 받았습니다. n이 5이상의 경우는 [Smale], n이 4인 경우는 [Freedman], 그리고 최근 n=3인 경우는 [Perelman]이죠. (물론 페렐만은 상을 거부 했지만요.. 오오 대인배 오오) 그리고 이 것들의 미분동형성의 반증으로 [Milnor]도 상을 받았으니, [푸앙카레 추측]으로 부터 나온 필즈메달이 무려 4개 입니다.

여담으로, [Milnor]가 푼 문제는 다음과 같습니다. 만일 위상동형인 두 다양체 사이의 homeomoprhism 맵이 이 두 다양체의 미분구조 (smooth structure)를 보존한다면 이 둘은 [미분 동형]하다고 부릅니다. 이 때, S^n과 위상동형이면 사실은 미분동형이 아닌가? 하는 의문을 가졌습니다만, Milnor는 그것이 아님을 7차원 공간에서 반례를 찾아 버렸습니다. 겨우 7페이지짜리의 짧은 논문이지만, 그것으로 필즈메달을 획득 한 것이죠.

비록 현재 [푸앙카레 추측]은 풀렸지만, 사실 이 것은 앞서 말한 [위상 수학]의 연구에서 첫 걸음에 지나지 않습니다. 겨우 가장 간단한 공간에 대한 의문을 해결한 것일 뿐이니깐요. 100년이란 시간이 걸렸지만.. 앞으로 더 많은 연구가 지속되면 더 많은 공간에 대해서 이해할 수 있을 것으로 기대됩니다.

그냥 가볍게 쓰기 시작한 글이었는데 벌써 2시간 넘게 이 글을 쓰고 있습니다. 많이 부족한 글이지만, 수학을 공부하는 후배님들에게 위상수학과 친해질 수 있는 계기가 되었으면 하는 바람을 가져봅니다. 감사합니다.

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재밌게보신분도 있을터이고.. 전 굉장히 재밌게 봤습니다. 자신이 어떤걸 공부하는데

왜 공부하는지 그것의 목적이 무엇인지 알게된다면 그 흥미는 배가 되지요

그리고 몇차원 몇차원 많이들 이야기가 나오는데, 차원의 정의는..

그 공간의 기저의 갯수를 차원이라고 정의를합니다. 이걸 설명하기엔 또 시간이 너무 걸리니깐 넘기도록하고

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혹여, 수학을 안하시는분이라도 공간에 관심이 무지많거나 우리 우주의 모습에 관심이 있다!

하시는분은 수학공부를 해보시길 권합니다. 개인적으로는 정말 재미있습니다..

고등학교수준의 내용을 잘 기억하고 계신다면은

대학미적분학=>선형대수학=>위상수학.(좀더 확실히 하실거라면, 해석학도 공부하시길..)

and 덤으로 미분기하학.

양자역학이든 뭐든 과학이론을 이해하려면 그 바탕인 수학적인 지식을 알아야겠지요?

뭐 물론 그저 상식으로만 가지고계시겠다는 분은 상관없지만

그것의 원리, 논리과정을 알고싶으시다면 보다 깊이 빠져보시길 추천합니다.

그럼 이만..