무리수 [無理數, irrational number]

정수와 분수를 하나로 정의한 유리수체에서는 그 안에서 이루어진 사칙연산의 결과는 모두 유리수이다(단, 0으로 나누는 것은 제외). 이와 같은 사실을, 유리수체는 사칙연산에 대하여 닫혀 있다고 한다. 유리수를 계수로 하는 이차방정식은 유리수의 범위에서 반드시 해를 갖는다고 할 수 없다.

이를테면 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 구하는 이차방정식의 근 ±√2는 정수도아니며, 분수도 아니다. 일반적으로 부진근수(不盡根數:유리수가 아닌 근수) n√a라든지, 원주율 π또는 자연로그의 밑으로 쓰이는 e와 같은 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다.

무리수는 극한 ·연속 등 해석학의 여러 개념이 발달함에 따라 점차 밝혀지게 되었으며, 19세기 말, G.칸토어, J.W.R.데데킨트, K.바이어슈트라스 등에 의하여 그 기초가 확고하게 되었다. 또, 이들은 유리수와 무리수를 실수로서, 동일한 정의 밑에서 다루었으며, 칸토어는 유리수열(有理數列)을, 데데킨트는 유리수의 절단(cut)을 써서 실수를 정의하면서 실수 중의 무리수의 특색을 명확히 하였다