관심없으신 분도 많으시겠지만 시간나는대로 생각해 본 후에 나름대로 정리가 되어서 올려봅니다

조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤,

어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다.

그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.

이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?

결론부터 말하자면 1/4이 아닌 10/49이 옳다고 생각합니다

사건 A: 다이아몬드 무늬의 카드를 상자에 넣음

사건 B: 남은 카드에서 3장을 뽑았을때 모두 다이아임

주어진 문제는 사건 B가 일어났을때 사건A가 일어날 확률이므로

P(A|B)= P(A∩B)/P(B)

라는 식으로 확률을 구할 수 있습니다.

여기서

P(A∩B)= 1/4 x 12C3/51C3

[다이아1장을 뽑고 나머지중 3장을 뽑을 때 모두 다이아일 확률]

*C는 컴비네이션입니다

P(B) = 1/4 x 12C3/51C3   +   3/4 x 13C3/51C3

[다이아 1장을 뽑고 나머지 중 3장을 뽑을 때 모두 다이아일 확률]
+다이아가 아닌1장을 뽑고 나머지 중 3장을 뽑을 때 모두 다이아일 확률]

P(A|B)= P(A∩B)/P(B)
     
      = (1/4 x 12C3/51C3)/(1/4 x 12C3/51C3 + 3/4 x 13C3/51C3)   [1/4 x 1/51C3 약분]

      = 12C3/(12C3 +  3 x 13C3)                                                [1/3! , 12x11 약분]

      = 10 / 10 + 39

      = 10 / 49

10/49 의 확률로 상자에 넣어둔 카드는 다이아일 것입니다.

 여기부터는 나중에 일어난 일이 먼저 일어난 일의 확률을 바꿀 수 없기때문에

1/4이 맞다고 하시는 분들을 위한 설명입니다.

 나중에 일어난 일이 먼저 일어난 일을 바꿀 수 없다는 말은 상식적으로 맞는 말이지만

위의 문제는 그것과는 다른(`틀린`이 아닙니다) 이야기입니다.

예를 들어 주사위를 두 번 던져 그 합을 구하고 맞추는 놀이를 한다고 가정합니다.

먼저 주사위를 두 번 굴린후 주사위의 합을 3이라 해서 맞추었을때(두 주사위의 합이 3일때)

처음던진 주사위의 눈이 1일 확률은 얼마일까요?

주사위의 합이 3이 되는 경우는 (1,2) (2,1) 두가지이고

이중 첫 눈이 1인 경우는 (1,2) 뿐이니 확률은 1/2 입니다.

A:처음 주사위의 눈의 수가 1임

B:주사위의 눈의 합이 3임

P(A|B)= P(A∩B)/P(B)

      = (1/6 x 1/6) /  2/36

      = 1/2

위의 결과가 처음 던진 주사위의 눈이 1일 확률(1/6=P(A))을

주사위의 합이 3이된 사건이 바꾸었다라는 것을 보여주는 것은 아닙니다.

그것과는 별개인 확률 P(A|B)를 구한것입니다
(이부분이 `지오넷손님`님이 말씀하신 다이아를 뽑을 확률과 다이아일 확률이 다르다는 이야기 입니다)

결국 주사위의 합이 3이었다라는 조건을 걺으로서 처음에 주사위의 눈 중 3,4,5,6이 나올 경우의 수들 등을 제외시켰기 때문에 두 확률 사이에 차이가 생깁니다.

처음의 트럼프 카드로 돌아가서 이야기해본다면

한장의 카드를 뽑아 상자에 넣고 세장의 카드를 다시 뽑았을때

1/4 x 12C3/51C3  +  3/4 x 13C3/51C3 의 확률로 다이아3장이 나옵니다.

이때 이 사건이 일어났다고 전제한다면(즉 일어나지 않았을때의 경우의 수는 제외하고 본다면)

10/49의 확률로 처음뽑은 카드는 다이아일 것이라는 이야기입니다.

이것은 전체의 이야기가 아닌 부분속의 부분을 보는 것이죠.